2016年4月自考微分几何考试真题
一、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
判断下列各题,正确的在题后括号内打"√",错的打"×".
1．曲面的克氏记号是曲面的内蕴量.()
2．曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线Γ是圆柱螺线.()
3．曲面S为平面的充要条件是ΙΙ=0.()
4．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为M=0.()
5.可展曲面的平均曲率必为零.()
二、单项选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1.已知曲线=(t)在(t0)点的挠率为τ,曲线在(t0)点附近是右旋的,则τ的值是()
A.-2B.
C.-D.-
2．曲线=(s)在P(s)点的基本向量为.在P点的曲率为k(s),挠率为τ(s),则τ(s)是()
A.B.
C.D.
3．对曲面的第一基本形式Ι=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG-F2满足()
A.>0B.<0
C.≥0D.≤0
4．在曲面的椭圆点处第二基本量L、M、N满足()
A.LN-M2>0B.LN-M2＜0
C.LN-M2=0D.L=M=N=0
5．F=M=0的充要条件是曲纹坐标网为()
A.正交网B.共轭网
C.曲率线网D.渐进网
6．曲面上使κn=κg=0的曲线不一定是()
A.直线B.渐近线
C.曲率线D.测地线
三、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1．向量函数=(t)对任意t有′(t)⊥(t)的充要条件是______.
2．已知曲线=(t)在P点的单位切向量为={0,1,0},单位主法向量={0,0,1},则曲线在P点的单位副法向量=______.
3．已知曲面=(u,v)有=4du2+2dudv+3dv2,则曲面的EG-F2是______.
4．曲面=(u,v)上渐近曲线的微分方程是______.
5．半径为R的球面的高斯曲率K=______.
6．直纹面=(u)+v(u)是可展曲面的充要条件是______.
四、计算题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
1．求曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2的挠率和密切平面.
2．求平面族a2x+2ay+2z=2a的包络.
3．求曲面z=xy2的第一基本形式.
4．求正螺面={ucosv,usinv,bv}的主曲率.
5.求曲面∑:={tcosθ,tsinθ,t}的第二基本形式.
五、证明题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
1．如果曲线Γ:＝(s)为一般螺线,、为Γ的切向量和主法向量,R为Γ的曲率半径.证明:=R-也是一般螺线.
2．若曲线既是测地线又为曲率线,则曲线是平面曲线.
3．证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线.
4．证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数,y=常数构成共轭网.
5．证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
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